Quelle Nummer 103

Rubrik 27 : MATHEMATIK   Unterrubrik 27.02 : FACHWISSENSCHAFTLICH

INTERWALLWERTIGE FUNKTIONEN
H. RATSCHEK/G. SCHROEDER
UEBER DIE ABLEITUNG VON INTERWALLWERTIGEN FUNKTIONEN
IN: ARCHIV FUER ELEKTRONISCHES RECHNEN
BAND 7, HEFT 3-4, WIEN/NEW YORK 1971, S. 172-180


001  Über die Ableitung von intervallwertigen Funktionen.
002  Zusammenfassung. Über die Ableitung von
003  intervallwertigen Funktionen. In der vorliegenden Arbeit wird
004  der Versuch unternommen, den Ableitungsbegriff für
005  Intervallfunktionen reellen Arguments zu präzisieren. Hierzu
006  wurden Ableitungsverfahren für mengenwertige Funktionen, für
007  Funktionen auf BANACH-Räumen, linearen topologischen
008  Räumen und uniformen Räumen als Grundlage herangezogen.
009  Einleitung. Durch eine Reihe von Untersuchungen, die von
010  verschiedenen mathematischen Disziplinen ausgegangen sind, ist es
011  möglich geworden, tiefer in die algebraische Struktur der
012  Intervallarithmetik einzudringen und sie als brauchbares
013  Hilfsmittel für die Beschreibung und Durchführung numerischer
014  Probleme und Prozesse heranzuziehen. Gewisse Probleme des
015  intervallanalytiscen Kalküls scheinen jedoch bis jetzt nicht
016  angeschnitten worden zu sein. Dazu zählt der Begriff der
017  Ableitung von Intervallfunktionen (kurz: I-Funktionen),
018  im Gegensatz zur Begriffsbildung des Bh Integrals einer I
019  -Funktion, man vgl.[ 12 ]. Einige Ansätze sind
020  wohl vorhanden. Z. B. erklären
021  APOSTOLATOS-KULISCH in[ 1 ]die Ableitung
022  von rationalen I-Funktionen, also einer speziellen Klasse von
023  I-Funktionen. MOORE erwähnt in[ 14 ]reelle
024  Funktionen bzw. ihre Ableitungen deren Graphen von Graphen von
025  Intervallpolynomen bzw. ihren Ableitungen (nach[ 1 ])
026  überdeckt werden. SUNAGA hingegen findet in[ 20 ]das
027  Konzept einer Differentiation im Zusammenhang mit I-
028  Funktionen " unrealistisch " und definiert unter Zuhilfenahme von
029  Intervallfunktionalen den Begriff des
030  Differentialkoeffizienten einer reellen Funktion auf einem
031  Intervall, wobei die Funktion als differenzierbar
032  vorausgesetzt wird. ORTOLF stellt in[ 15 ]nur fest,
033  daß " eine so wichtige Abbildung wie die der Multiplikation mit
034  einem konstanten Intervall in einigen Punkten keine FRÉ
035  CHET-Ableitung besitzt ". Bemerkenswert erscheint auch
036  die Tatsache, daß es möglich ist, I-Funktionen zur
037  Lösung von Differentialgleichungen heranzuziehen, ohne sich mit
038  der Ableitung einer I-Funktion auseinandersetzen zu müssen.
039  Doch ohne den Begriff des Integrals einer I-Funktion scheint
040  man dabei nicht auszukommen, man vgl. z. B.[ 12, 13,
041  19 ]. Auch in Überblicksaufsätzen, die in jüngerer Zeit
042  erschienen sind, wird die Ableitung einer I-Funktion nicht
043  erwähnt[ 9 ]. Zur Differentation von Polynomstreifen vgl.
044  man KRU+*CKENBERG[ 25 ]. In der
045  vorliegenden Arbeit stellen wir verschiedene Möglichkeiten der
046  Ableitungsbildung für I-Funktionen mit reellem Argument zur
047  Diskussion. Diese Varianten haben ihren Ursprung in
048  Ableitungsverfahren, die für vektorwertige und
049  mengenwertige Funktionen, für Funktionen über BANACH-
050  Räumen, topologischen und uniformen Räumen entwickelt worden
051  sind. Durch den RADSTRÖMschen Einbettungssatz[ 16 ]
052  ist es z. B. möglich, die Menge der Intervalle
053  hinsichtlich der Addition in einen BANACH-Raum
054  einzubetten, so daß die für BANACH-räume bestehenden
055  Ableitungsverfahren auf I-Funktionen übertragen werden
056  können. Der kritische Punkt bei fast allen Verfahren dürfte die
057  Forderung nach der Linearität der Ableitung sein. Man vgl.
058  WEHRLI in[ 21 ]: " Die Linearität der
059  Differentiation (Anm.: gemeint ist hier die Ableitung in
060  einem Punkt) ist aber eine Forderung, der anscheinend jedes
061  sinnvolle Konzept von Differentialrechnung genügen muß. "
062  Diese Forderung mag für lineare Räume gelten, sie jedoch für
063  die Intervallarithmetik aufrecht zu erhalten, scheint ihrer
064  Struktur nicht angepaßt zu sein. Es ist ja nicht einmal die
065  einfache Abbildung (Formel) konstant, (Formel) linear. I (Formel) bedeutet die
066  Menge aller reellen beschränkten abgeschlossenen Intervalle (nur
067  solche werden üblicherweise betrachtet) über (Formel), der menge der
068  reellen Zahlen. Und wir glauben, daß höchstens jene
069  Ableitungsverfahren für die Intervallarithmetik bedeutsam sein
070  dürften, die nicht unbedingt die Linearität der Ableitung
071  fordern. Schließlich haben wir noch die Arbeiten von
072  GÄHLER und FRÖHLICHER-BUCHER auf ihre
073  Anwendbarkeit hinsichtlich I-Funktionen überprüft.
074  GÄHLER führt in[ 23 ]verallgemeinerte Ableitung für
075  Abbildungen von topologischen Räumen in topologische Räume
076  mittels sogenannter Linsenfamilie und Radialstrukturen
077  ein. Wir wollen an dieser Stelle nur erwähnen, daß die
078  Übertragung der wichtigsten Modelle von Linsenfamilien und
079  Radialstrukturen auf I-Funktionen zur FRÉCHET-
080  Ableitung einerseits, anderseits zu gewissen topologischen
081  " Verzerrungen " von ihr, führt. Sei z. B. (Formel), so ist
082  ein Abteilungsmodell gegeben durch (Formel), für (Formel) und alle (Formel).
083  Das Symbol (Formel) bedeutet die Subtration in jenem BANACH-
084  Raum, in den I (Formel) eingebettet wird; Einzelheiten darüber
085  findet man in Abschnitt 2. FRÖHLICHER BUCHER
086  untersuchen die Ableitungen von Funktionen über
087  pseudotopologischen Räumen[ 6 ]. Dabei gehen im Spezialfall
088  von normierten Räumen die von diesen Autoren vorgeschlagenen
089  Ableitungsdefinitionen in die klassischen über. Bekanntlich
090  treten bei der Definition höherer Ableitungen in linearen
091  topologischen Räumen gewisse Schwierigkeiten auf. Um diese zu
092  umgehen, wurde ein Differentialkalkül in linearen limitierten
093  Räumen entwickelt. Man vgl. hierzu[ 4 ]. Auf
094  entsprechende Probleme in der Intervallanalysis gehen wir in der
095  vorliegenden Arbeit nicht ein. Zusammenfassend wollen wir
096  festhalten, daß von den in der vorliegenden Arbeit aufgeführten
097  Ableitungsverfahren das von FRÉCHET, die
098  Weiterentwicklung nach HERMES und die Auffassung der
099  Ableitung als Menge von abgeleiteten Punktfunktionen für die
100  Intervallarithmetik interessant sein dürfte. Die zwei
101  letztgenannten Versionen stimmen für Intervallpolynome mit der
102  bereits erwähnten Ableitung von APOSTOLATOS-
103  KULISCH überein. Zumindest wird es wohl kaum möglich sein,
104  nur mit einer Definition einer Ableitung auszukommen,
105  und wir glauben auch, daß zu jeder Ableitungsvariante von I-
106  Funktionen eine praktische Anwendung vorhanden ist, für die diese
107  Variante unzugänglich ist. Durch den Radströmschen
108  Einbettungssatz bedingte Ableitungen. Um die Theorie der
109  BANACH-Räume ohne Einschränkung und ohne Modifikation
110  der Begriffsbildungen auf die Intervallarithmetik anwenden zu
111  können, nehmen wir gegebenenfalls die folgende auf
112  RADSTRÖM[ 16 ]zurückgehende Einbettung vor. Die
113  Menge (Formel) bildet einen Vektorraum (Formel) über (Formel), wenn in (Formel) die
114  Addition (Formel) und die skalare Multiplikation (Formel) erklärt
115  ist. Wir betrachten (Formel), die Menge aller Intervalle hinsichtlich
116  der Addition, wir fassen (Formel), die Menge der positiven reellen
117  Zahlen, als Skalarbereich von *zs auf, und gestatten in ihm die
118  reelle Addition und Multiplikation als Verknüpfung. Wir
119  erklären eine skalare Multiplikation (Formel). Nach
120  RADSTRÖM ordnen wir nun jedem Intervall (Formel) den Punkt (Formel)
121  aus (Formel) zu, der Skalarbereich (Formel) wird mittels der
122  Inklusionsabbildung in den Skalarbereich (Formel) abgebildet. Man
123  erkennt ohne weiteres, daß diese Zuordnung eine Einbettung des
124  Komplexes *zs über (Formel) in den Vektorraum (Formel) ist; und zwar
125  hinsichtlich der zwei Verknüpfungen im Skalarbereich (Formel), der
126  skalaren Verknüpfung und der Intervalladdition. Wir
127  bezeichnen nach[ 5 ]diese Einbettung mit *yp. (Ähnlich
128  verfährt ORTOLF[ 15 ], wobei die gesamte
129  Intervallarithmetik, d. i. das algebraische System (Formel), in
130  ein geeignetes algebraisches System mit der Trägermenge (Formel)
131  eingebettet wird.) Bemerkung. In der
132  Intervallarithmetik bezeichnet man (Formel) (Formel) gerne mit c (Formel). Wir
133  schreiben dafür (Formel), wobei (Formel) ein Punktintervall bedeutet, um
134  Verwechslungen mit vorzubeugen. Für Intervallpolynome
135  schreiben wir also (Formel). Aus dem RADSTRÖMSCHEN Satz
136  folgt ebenso, daß die Einbettung *yp isometrisch erfolgen kann.
137  Sei auf *zs (über (Formel)) eine Metrik *yd erklärt. Dann kann man
138  *yd zu einer Metrik *yj auf (Formel) erweitern. Seien (Formel) und (Formel),
139  dann ist *yj erklärt durch (Formel) und (Formel). Im Falle der
140  HAUSDORFF-Metrik (Formel) auf I (Formel), die gegeben ist durch
141  (Formel), erhalten wir als Erweiterung (Formel). Wir legen in unseren
142  Betrachtungen, um uns nicht zu sehr ins Abstrakte zu verlieren,
143  die die HAUSDORFF-Metrik induzierende Maximums-
144  Norm zugrunde, jene ist aufgrund ihrer einfachen Berechenbarkeit
145  in der Intervallarithmetik wohl am meisten verbreitet. Dessen
146  ungeachtet sind die vorliegenden Ausführungen von einer speziellen
147  Normierung unabhängig, die Maximums-Norm kann also stets
148  durch andere Normen über (Formel) ersetzt werden. Man vgl.[ 10
149  ]: Alle linearen normierten Raume von gegebener endlicher
150  Dimension sind isomorph und homöomorph. Die von uns benützte
151  Normkonvergenz ist in (Formel) gleichwertig der schwachen Konvergenz,
152  man vgl.[ 10 ]. (Formel) ist vollständig und reflexiv[ 22 ].
153  Man stellt fest, daß eine Folge von Intervallen (als Folge
154  von Punkten des (Formel) aufgefaßt) im Konvergenzfalle gegen ein
155  Intervall (also einen Punkt des (Formel), dem Intervall entspricht)
156  konvergiert. *zs (über (Formel)) ist also gewissermaßen vollständig
157  (als Teilkomplex des (Formel)) hinsichtlich jeder Art von durch
158  Normen über (Formel) induzierten Metriken. Da Verwechslungen
159  auftreten können zwischen der Umkehroperation der in BANACH
160  -Räumen erklärten Addition und der Subtraktion von
161  Intervallen, und da diese zwei Verknüpfungen wesentlich
162  verschieden sind, schreiben wir (Formel) für die BANACH-Raum
163  -Subtraktion und (Formel) für die Intervallsubtraktion. Außerdem
164  benötigen wir die auf (Formel) wie folgt erklärte HUKUHARA-
165  Differenz (Formel), man vgl.[ 5 ]: (Formel). Man erkennt, daß
166  (Formel) genau dann existiert, wenn (Formel) ist, mit (Formel) (Länge eines
167  Intervalls). man vgl. hierzu[ 17 ]. C ist dann die
168  einzige Lösung der Gleichung (Formel). Das Aufsuchen einer
169  Ableitung führt zum Teil zu linearen Abbildungen. Diese sind
170  darstellbar durch Matrizen, man vgl.[ 22 ], so daß in
171  unserem Falle gilt: (Formel). (Seien allgemein M, N zwei Mengen
172  bzw (vp Vektorräume über (Formel), so bezeichne[ M, N ]bzw.
173  L[ M, N ]die Menge aller Abbildungen bzw. aller
174  linearen Abbildungen von M in N.) Wir werden von dieser
175  Ersetzung Gebrauch machen. Uns stehen nun sämtliche
176  Ableitungsverfahren, die man in BANACH-Räumen oder in
177  linearen topologischen Räumen kennt, für die Anwendung auf I
178  -Funktionen zur Verfügung. Einen guten Überblick geben hier
179  zwei Artikel von AVERBUKH-SMOLYANOV[ 3, 4
180  ], die 25 Ableitungsverfahren in solchen Räumen behandeln, und
181  ein Artikel von BANKS-JACOBS, der sich mit einigen
182  neueren Verfahren beschäftigt[ 5 ]. Ein großer Teil dieser
183  Varianten stimmen für auf (Formel) erklärte vektorwertige Funktion
184  überein. Die FRÉCHET-Ableitung (F-
185  Ableitung). Auf diese gehen wir etwas genauer ein, um die
186  Schwierigkeiten zu demonstrieren, die allgemein bei der Definition
187  von Ableitungen von I-Funktionen auftreten. Die F-
188  Ableitung ist für Funktionen aus (Formel) üblicherweise
189  folgendermaßen erklärt, man vgl. z. B.[ 11 ]:
190  Sei (Formel) offen, (Formel). Dann heißt G an der Stelle x F-
191  differenzierbar, wenn ein linearer Operator (Formel) und ein (Formel) mit (Formel)
192  und lim (Formel) vorhanden ist, so daß für alle h aus einer Umgebung
193  U (0) gilt: (Formel). (Formel) heißt F-Ableitung von G an der
194  Stelle x. BANKS-JACOBS leiten hiervon den Begriff
195  der *yp-Differenzierbarkeit für mengenwertige Funktionen
196  (multifunctions), deren Werte Teilmengen eines linearen reflexiven
197  Raumes sind, ab, man vgl.[ 5 ]. Übertragen auf I-
198  Funktionen lautet die Definition der *yp-Differenzierbarkeit,
199  der wir noch, den Grundlagen von AVERBUKH-
200  SMOLYANOV[ 4 ]und WEHRLI[ 21 ]folgend,
201  den Begriff der *yp-Ableitung hinzufügen: Definition
202  (*yp-Ableitung). Sei (Formel) offen, (Formel), sei *yp
203  die Einbettung von *zs (über (Formel)) in (Formel). Dann heißt G an der
204  Stelle x *yp-differenzierbar, wenn (Formel) F-differenzierbar
205  in x ist[ Es sei (Formel) ]. Besitzt (Formel) in x die F-
206  Ableitung (Formel), so nennen wir (Formel) die *yp-Ableitung von G an
207  der Stelle x.Wir haben eine Einbettung *yp von *zs in (Formel)
208  vorgenommen, um einwandfrei eine F-Ableitung angeben zu
209  können. Das nächstliegende Problem ist es wohl nun, die
210  erhaltenen Ergebnisse in den Raum I (Formel) zurückzuführen, etwa
211  auf die folgende Art: Sei (Formel) mit (Formel). Dann sei die F-
212  Ableitung von G gleich (Formel). Beispiel. Sei (Formel), so ist
213  (Formel) für (Formel) und (Formel) für (Formel) ist überall *yp-differenziebar
214  außer an der Stelle 0 und besitzt die *yp-Ableitung bzw.
215  .Also existiert für G an den Stellen (Formel) eine F-
216  Ableitung, nämlich[ 0, 1 ]; doch besitzt in I (Formel)
217  kein Urbild, also G nach dem oben gemachten Vorschlag auch keine
218  F-Ableitung für (Formel). Man sieht wohl deutlich, daß dieses
219  Konzept nicht befriedigt. Es empfiehlt sich daher, auf die
220  Forderung zu verzichten, ein Intervall als F-
221  Ableitung zu erhalten, sondern für sie jeden Punkt aus (Formel)
222  zuzulassen. Wir stimmen in diesem Falle mit dem Standpunkt von
223  ORTOLF[ 15 ]überein, die Intervallarithmetik als
224  Teilkomplex der verallgemeinerten Intervallarithmetik zu behandeln.
225  In diesem Sinne bringen wir einen Vorschlag für eine
226  Definition der F-Ableitung von I-Funktionen. Um nicht
227  mit Einbettungen operieren zu müssen, legen wir den Vektorraum
228  (Formel) über (Formel) für den Abschnitt 2 wie folgt fest: Die
229  Trägermenge von (Formel) sei (Formel). Für Elemente (Formel) schreiben
230  wir auch (Formel). Wir erklären die Addition entsprechend und die
231  skalare Multiplikation (Formel) entsprechend. Man hat die Freiheit,
232  weitere Verknüpfungen, z. B. die intervallarithmetischen
233  in I (Formel) zu erklären (als partielle algebraische Verknüpfungen
234  auf (Formel)), oder diese auf ganz (Formel) fortzusetzen, wie es
235  ORTOLF[ 15 ]ausführt. Die Umkehroperation der
236  Addition bezeichnen wir wieder mit (Formel). Mittels der Maximums-
237  Norm wird (Formel) zu einem reflexiven vollständigen BANACH-
238  Raum. Definition (F-Ableitung von I-
239  Funktionen). Sei (Formel) offen, (Formel). Dann heißt F an der Stelle
240  x F-differenzierbar, wenn ein Punkt (Formel) und eine Abbildung
241  (Formel) mit (Formel) und lim (Formel) für (Formel) vorhanden ist, so daß für alle h
242  aus einer Umgebung (Formel) gilt: (Formel). (Formel) heißt die F-
243  Ableitung von G an der Stelle x. Existiert (Formel) für alle (Formel),
244  so heißt die Abbildung (Formel) Ableitung von G in N. Wir
245  schließen die folgenden Aussagen an; die erste wurde von[ 5
246  ]übernommen, die zweite ist einfach beweisbar. Satz
247  Sei (Formel) für (Formel). Dann ist (Formel) G an der Stelle x genau
248  dann F-differenzierbar, wenn f und g an der Stelle x
249  differenziebar sind, und es ist (Formel). Für spätere Vergleiche
250  mit weiteren Ableitungsverfahren benötigen wir das folgende
251  unmittelbar einsichtige Korollar Sei (Formel) F-
252  differenzierbar auf M. Dann ist (Formel) genau dann ein Intervall,
253  wenn (Formel) ist, d. h. wenn (Formel) in einer Umgebing (Formel) eine
254  nichtabnehmende Funktion von x ist. x-Ableitung.
255  Beispiel. Für (Formel), ist (Formel). Die GATEAU+
256  Diese sehr verbreitete Ableitung stimmt für Funktionen (Formel) mit
257  der F-Ableitung überein, man vgl.[ 4 ], deshalb
258  führen wir die Definition nicht an. Auch jene Version der
259  GATEAUX-Ableitung, bei der die schwache Konvergenz
260  (anstelle der Normkonvergenz) für die bei der Definition
261  auftretende Limes-Operation herangezogen wird, stimmt mit der
262  erstgenannten Version überein, da in endlichdimensionalen Räumen
263  Normkonvergenz und schwache Konvergenz äquivalent sind, man vergl.
264  [ 10 ]. Die konische Differenzierbarkeit. Wir
265  übertragen diesen Begriff, der für mengenwertige Funktionen
266  erklärt wird[ 5 ], auf I-Funktionen. Wir begnügen uns
267  jedoch mit der Angabe der Definition, da die konische
268  Differenzierbarkeit nicht ausschließlich eine Eigenschaft der
269  betreffenden I-Funktion ist, sondern noch eine Abhängigkeit
270  von der Wahl der Basis von (Formel) (als Vektorraum aufgefaßt)
271  vorhanden ist, wie ein Beispiel zeigen wird. Definition
272  Sei (Formel) offen, (Formel). Sei u eine Basis von (Formel), und es
273  existiere die F-Ableitung (Formel). Dann heißt G an der Stelle
274  x konisch differenzierbar, wenn (Formel) ein Intervall ist.
275  Beispiel. Sei (Formel) in (Formel). Dann ist (Formel). Sei nun 1 die
276  Basis von (Formel), so ist (Formel), und G ist in x konisch differenzierbar.
277  Wählt man hingegen - 1 zur Basis, so ist G in x wegen (Formel)
278  nicht konisch differenziebar. Die HUKUHARA-
279  Ableitung (Hk-Ableitung). HUKUHARA gibt eine
280  Ableitungsversion, man vgl.[ 5 ], die für I-
281  Funktionen die folgende Form hat: Definition
282  Sei (Formel) offen, (Formel). Dann heißt G an der Stelle x Hk-
283  differenzierbar, wenn es ein Intervall (Formel) gibt, so daß (Formel) ist.
284  (Formel) heißt die Hk-Ableitung von G in x. Der folgende
285  Satz, der sich auf Aussagen von[ 5 ]und auf Korollar
286  zurückführen läßt, zeigt, daß die Hk-Ableitung für I
287  -Funktionen nicht von Bedeutung sein dürfte.

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