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Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als dass ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird.In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte. Es handelt sich um mein Grundgesetz (V). Ich habe mir nie verhehlt, dass es nicht so einleuchtend ist, wie die andern, und wie es eigentlich von einem logischen Gesetze verlangt werden muss. Und so habe ich denn auch im Vorworte zum ersten Bande S. VII auf diese Schwäche hingewiesen. Ich hätte gerne auf diese Grundlage verzichtet, wenn ich irgendeinen Ersatz dafür gekannt hätte. Und noch jetzt sehe ich nicht ein, wie die Arithmetik wissenschaftlich begründet werden könne, wie die Zahlen als logische Gegenstände gefasst und in die Betrachtung eingeführt werden können, wenn es nicht — bedingungsweise wenigstens — erlaubt ist, von einem Begriffe zu seinem Umfange überzugehn. Darf ich immer von dem Umfange eines Begriffes, von einer Klasse sprechen? Und wenn nicht, woran erkennt man die Ausnahmefälle? Kann man daraus, dass der Umfang eines Begriffes mit dem eines zweiten zusammenfällt, immer schliessen, dass jeder unter den ersten Begriff fallende Gegenstand auch unter den zweiten falle ? Diese Fragen werden durch die Mittheilung des Herrn Russell angeregt.Solatium miseris, socios habuisse malorum. Dieser Trost, wenn es einer ist, steht auch mir zur Seite; denn Alle, die von Begriffsumfängen, Klassen, Mengen 1 in ihren Beweisen Gebrauch gemacht haben, sind in derselben Lage. Es handelt sich hierbei nicht um meine Begründungsweise im Besonderen, sondern um die Möglichkeit einer logischen Begründung der Arithmetik überhaupt.Doch zur Sache selbst! Herr Russell hat einen Widerspruch aufgefunden, der nun dargelegt werden mag.Von der Klasse der Menschen wird niemand behaupten wollen, dass sie ein Mensch sei. Wir haben hier eine Klasse, die sich selbst nicht an-
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gehört. Ich sage nämlich, etwas gehöre einer Klasse an, wenn es unter den Begriff fällt, dessen Umfang eben die Klasse ist. Fassen wir nun den Begriff ins Auge Klasse, die sich selbst nicht angehört! Der Umfang dieses Begriffes, falls man von ihm reden darf, ist demnach die Klasse der sich selbst nicht angehörenden Klassen. Wir wollen sie kurz die Klasse Κ nennen. Fragen wir nun, ob diese Klasse Κ sich selbst angehöre! Nehmen wir zuerst an, sie thue es! Wenn etwas einer Klasse angehört, so fällt es unter den Begriff, dessen Umfang die Klasse ist. Wenn demnach unsere Klasse sich selbst angehört, so ist sie eine Klasse, die sich selbst nicht angehört. Unsere erste Annahme führt also auf einen Widerspruch mit sich. Nehmen wir zweitens an, unsere Klasse Κ gehöre sich selbst nicht an, so fällt sie unter den Begriff, dessen Umfang sie selbst ist, gehört also sich selbst an. Auch hier wieder ein Widerspruch!Wie sollen wir uns hierzu stellen? Sollen wir annehmen, das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten gelte von den Klassen nicht? Oder sollen wir annehmen, es gebe Fälle, wo einem unanfechtbaren Begriffe keine Klasse entspreche, die sein Umfang wäre? Im ersten Falle sähen wir uns genöthigt, den Klassen die volle Gegenständlichkeit abzusprechen. Denn wären die Klassen eigentliche Gegenstände, so müsste das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten von ihnen gelten. Andrerseits haben sie nichts Ungesättigtes, Prädikatives, wodurch sie etwa als Functionen, Begriffe, Beziehungen gekennzeichnet wären. Das, was wir gewohnt sind, als Namen einer Klasse zu betrachten, z. B. „die Klasse der Primzahlen“, hat vielmehr das Wesen eines Eigennamens, kann nicht prädikativ, wohl aber als grammatisches Subjekt eines singulären Satzes auftreten, z. B. „die Klasse der Primzahlen umfasst unendlich viele Gegenstände“. Wenn wir das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten für die Klassen ausser Kraft setzen wollten, könnten wir daran denken, die Klassen — und wohl die Werthverläufe überhaupt — als uneigentliche Gegenstände aufzufassen. Diese würden dann nicht für alle Functionen erster Stufe als Argumente auftreten dürfen. Es gäbe aber auch Functionen, die als Argumente sowohl eigentliche, als auch uneigentliche Gegenstände haben könnten. Wenigstens die Beziehung der Gleichheit (Identität) würde von dieser Art sein. Man könnte dem zu entgehen suchen, indem man für uneigentliche Gegenstände eine besondere Art von Gleichheit annähme. Aber das ist wohl ausgeschlossen. Die Identität ist eine so bestimmt gegebene Beziehung, dass nicht abzusehen ist, wie bei ihr verschiedene Arten vorkommen können. Nun ergäbe sich aber eine grosse Mannigfaltigkeit von Functionen erster Stufe, nämlich erstens solche, welche als Argumente nur eigentliche Gegenstände haben dürften, zweitens solche, welche als Argumente sowohl eigentliche, als auch uneigentliche Gegenstände haben könnten, endlich wohl auch solche, welche nur uneigentliche Gegenstände als Argumente haben könnten. Eine andere Eintheilung ergäbe sich aus den Werthen der Functionen.
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Danach wären Functionen zu unterscheiden, welche als Werthe nur eigentliche Gegenstände hätten, zweitens solche, welche als Werthe sowohl eigentliche, als auch uneigentliche Gegenstände hätten, endlich solche, welche nur uneigentliche Gegenstände als Werthe hätten. Beide Einteilungen der Functionen erster Stufe beständen gleichzeitig, sodass man neun Arten erhielte. Diesen entsprächen wieder neun Arten von Werthverläufen, uneigentlichen Gegenständen, die logisch zu unterscheiden wären. Die Klassen eigentlicher Gegenstände müssten von den Klassen von Klassen eigentlicher Gegenstände unterschieden werden, die Relationen zwischen eigentlichen Gegenständen von den Klassen eigentlicher Gegenstände, von den Klassen von Relationen zwischen eigentlichen Gegenständen u. s. w. So erhielten wir eine unabsehbare Mannigfaltigkeit von Arten; und im Allgemeinen könnten Gegenstände, die verschiedenen dieser Arten angehörten, nicht als Argumente derselben Functionen auftreten. Es scheint aber ausserordentlich schwierig zu sein, eine vollständige Gesetzgebung aufzustellen, durch die allgemein entschieden würde, welche Gegenstände als Argumente welcher Functionen zulässig wären. Ueberdies kann die Berechtigung uneigentlicher Gegenstände bezweifelt werden.Wenn uns diese Schwierigkeiten davon abschrecken, die Klassen und damit die Zahlen als uneigentliche Gegenstände aufzufassen, wenn wir sie aber auch nicht als eigentliche Gegenstände anerkennen wollen, nämlich als solche, welche als Argumente jeder Function erster Stufe auftreten können, so bleibt wohl nur übrig, die Klassennamen als Scheineigennamen zu betrachten, die also in Wahrheit keine Bedeutung hätten. Sie wären dann anzusehen als Theile von Zeichen, die nur als Ganze eine Bedeutung hätten1. Man kann es ja für irgendeinen Zweck vortheilhaft erachten, verschiedene Zeichen in einem Theile übereinstimmend zu gestalten, ohne sie dadurch zu zusammengesetzten zu machen. Die Einfachheit eines Zeichens erfordert ja nur, dass die Theile, die man in ihnen etwa unterscheiden kann, nicht selbständig eine Bedeutung haben. Auch das, was wir als Zahlzeichen aufzufassen gewohnt sind, wäre dann eigentlich kein Zeichen, sondern der unselbständige Theil eines Zeichens. Eine Erklärung des Zeichens »2« wäre unmöglich; man hätte statt dessen viele Zeichen zu erklären, die als unselbständigen Bestandtheil »2« enthielten, aber logisch nicht aus »2« und einem andern Theile zusammengesetzt zu denken wären. Es wäre dann unzulässig, einen solchen unselbständigen Theil durch einen Buchstaben vertreten zu lassen; denn hinsichtlich des Inhalts bestände ja gar keine Zusammensetzung. Die Allgemeinheit der arithmetischen Sätze ginge damit verloren. Auch wäre nicht zu verstehen, wie dabei von einer Anzahl von Klassen, von einer Anzahl von Anzahlen die Rede sein könnte.Ich denke: dies genügt, um auch diesen Weg als ungangbar erscheinen zu lassen. Es bleibt also wohl nichts anderes übrig, als die Begriffsum-
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fänge oder Klassen als Gegenstände im eigentlichen und vollen Sinne dieses Wortes anzuerkennen, zugleich aber einzuräumen, dass die bisherige Auffassung der Worte „Umfang eines Begriffes“ einer Berichtigung bedarf. Bevor wir hierauf näher eingehen, wird es nützlich sein, dem Auftreten jenes Widerspruches mit unsern Zeichen nachzuspüren. Dass Δ eine Klasse ist, die sich selbst nicht angehört, können wir so ausdrücken:
Formel f225601 in Original-Notation
Und die Klasse der sich selbst nicht angehörenden Klassen wird so zu bezeichnen sein:
Formel f225602 in Original-Notation 1
Ich will zur Abkürzung dafür in der folgenden Ableitung das Zeichen inline-Formel i_Nachwort2t-0091 in Original-Notation gebrauchen und dabei wegen der zweifelhaften Wahrheit den Urtheilsstrich weglassen. Demnach werde ich mit
Formel f225603 in Original-Notation
ausdrücken, dass die Klasse inline-Formel i_Nachwort2t-0096 in Original-Notation sich selbst angehöre.Nach (Vb) haben wir nun
Formel f225604 in Original-Notation
oder, wenn wir die Abkürzung benutzen und (IIIa) anwenden
Formel f225605 in Original-Notation
Nun führen wir für »f« das deutsche »g« ein:
Formel f225606 in Original-Notation
d. h.: Wenn inline-Formel i_Nachwort2t-0123 in Original-Notation sich angehört, gehört es sich nicht an. Das ist die eine Seite.Andrerseits haben wir nach (IIb)
Formel f225607 in Original-Notation
und wenn wir für »f(ξ)« nehmen
Formel f225608 in Original-Notation : 
Formel f225609 in Original-Notation
und mit Berücksichtigung unserer Abkürzung:
Formel f225610 in Original-Notation
d. h.: Wenn inline-Formel i_Nachwort2t-0147 in Original-Notation sich nicht angehört, so gehört es sich an. Aus (ε) folgt nach (Ig)
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Formel f225701 in Original-Notation
und hieraus mit (β)
Formel f225702 in Original-Notation
Die Sätze (ζ) und (η) widersprechen einander. Der Fehler kann allein in unserm Gesetze (Vb) liegen, das also falsch sein muss.Wir wollen nun sehen, wie sich die Sache gestaltet, wenn wir unser Zeichen »« benutzen. An die Stelle von inline-Formel i_Nachwort2t-0179 in Original-Notation wird inline-Formel i_Nachwort2t-0182 in Original-Notation treten. Indem wir in (82) für »f(ξ)« inline-Formel i_Nachwort2t-0205 in Original-Notation, für »F(ξ)« »—ξ« und für »a« inline-Formel i_Nachwort2t-0228 in Original-Notation nehmen, erhalten wir
Formel f225703 in Original-Notation
woraus nach (Ig) folgt
Formel f225704 in Original-Notation
Durch dieselben Einsetzungen erhalten wir aus (77):
Formel f225705 in Original-Notation
Hieraus folgt mit (ι)
Formel f225706 in Original-Notation
was dem (ι) widerspricht. Es wird also mindestens einer der beiden Sätze (77) und (82) falsch sein, und also auch (1), aus dem sie folgen. Bei der Betrachtung der Ableitung von (1) im § 55 des ersten Bandes ergiebt sich, dass auch dabei von (Vb) Gebrauch gemacht ist. Auf diesen Satz wird also auch hier der Verdacht gelenkt. Mit (Vb) ist auch (V) selbst gefallen, nicht aber (Va). Der Umwandlung der Allge meinheit einer Gleichheit in eine Werthverlaufsgleichheit steht nichts im Wege; nur die umgekehrte Umwandlung ist als nicht immer erlaubt nachgewiesen. Damit ist freilich erkannt, dass meine Einführung der Werthverläufe im § 3 des ersten Bandes nicht immer zulässig ist. Wir können nicht allgemein die Worte„die Function Φ(ξ) hat denselben Werthverlauf wie die Function Ψ(ξ)“ als gleichbedeutend mit den Worten„die Functionen Φ(ξ) und Ψ(ξ) haben für dasselbe Argument immer denselben Werth“gebrauchen, und wir müssen die Möglichkeit in Betracht ziehen, dass es Begriffe gebe, die — im gewöhnlichen Wortsinne wenigstens — einen Umfang haben. Die Berechtigung unserer Function zweiter Stufe inline-Formel i_Nachwort2t-0333 in Original-Notationwird dadurch erschüttert. Und doch ist eine solche für die Begründung der Arithmetik unentbehrlich.Wir wollen unsere Untersuchung nun noch dadurch ergänzen, dass wir, statt von (Vb) auszugehen und so auf einen Widerspruch zu stossen, die Falschheit von (Vb) als Endergebnis gewinnen. Um dabei von den immerhin verdächtigen Werthverlaufzeichen unabhängig zu sein, wollen wir die Ableitung ganz allgemein für eine Function zweiter Stufe mit einem Argument zweiter Art1 durchführen, indem wir die Bezeichnungsweise in Bd. I, § 25 benutzen. Unsere Zeichenverbindung
Formel f225707 in Original-Notation

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wird demgemäss ersetzt werden durch
Formel f225801 in Original-Notation
und auf diesen Fall sind die Bestimmungen, die wir bei den Werthverlaufzeichen in I, § 9 über das Gebiet eines griechischen Buchstabens aufgestellt haben, sinngemäss zu übertragen. Wir haben in unserer For mel zweimal ein »M«, erstens im Anfange, zweitens im Innern. An der Argumentstelle des ersten steht die Functionsmarke
Formel f225802 in Original-Notation
an der des zweiten steht »—g(ξ)«. Zunächst ergiebt sich Folgendes:
Formel f225803 in Original-Notation
Formel f225804 in Original-Notation
Formel f225805 in Original-Notation
Setzen wir hierin zur Abkürzung
Formel f225806 in Original-Notation
für
Formel f225807 in Original-Notation
und setzen wir für »a« »Mβ((Φ(β)))«, so erhalten wir aus ν
Formel f225808 in Original-Notation
d. h. der Werth unserer Function zweiter Stufe für den Begriff Φ(ξ) fällt unter eben diesen Begriff. Andrerseits haben wir aber auch aus (ν)
Formel f225809 in Original-Notation
d. h.: Es giebt einen Begriff, für welchen als Argument unsere Function zweiter Stufe denselben Werth erhält wie für Φ(ξ), unter welchen dieser Werth aber nicht fällt. Mit andern Worten: Für jede Function zweiter Stufe mit einem Argumente zweiter Art giebt es zwei Begriffe der Art, dass sie, als Argumente dieser Function genommen, denselben Werth ergeben, und dass dieser Werth zwar unter den ersten dieser
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Begriffe fällt, nicht aber unter den zweiten. Begriffsschriftlich können wir das so ableiten:
Formel f225901 in Original-Notation
(IIIa):
Formel f225902 in Original-Notation
(IIb)::
Formel f225903 in Original-Notation
(IIb,IIIa)::
Formel f225904 in Original-Notation
Formel f225905 in Original-Notation
(μ):
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Formel f226001 in Original-Notation
(Ig):
Formel f226002 in Original-Notation
(IIa)::
Formel f226003 in Original-Notation
Formel f226004 in Original-Notation
−−−− • −−−−
Formel f226005 in Original-Notation
(φ):
Formel f226006 in Original-Notation
d. h.: Für jede Function zweiter Stufe mit einem Argumente zweiter Art giebt es Begriffe, welche, als deren Argumente genommen, denselben Werth ergeben, obwohl nicht alle Gegenstände, die unter den einen dieser Begriffe fallen, auch unter den andern fallen.Unser Beweis ist geführt worden ohne Benutzung von Sätzen oder Bezeichnungen, deren Berechtigung irgendwie zweifelhaft wäre. Unser Satz gilt also auch für die Function zweiter Stufe inline-Formel i_Nachwort2t-0455 in Original-Notation, falls diese zulässig ist, oder in Worten:Falls allgemein bei jedem Begriffe erster Stufe von dessen Umfange gesprochen werden darf, so kommt der Fall vor, dass Begriffe denselben Umfang haben, obwohl nicht alle Gegenstände, die unter den einen dieser Begriffe fallen, auch unter den andern fallen.Damit ist aber der Begriffsumfang im hergebrachten Sinne des Wortes eigentlich aufgehoben. Man darf
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nicht sagen, dass allgemein der Ausdruck „der Umfang eines ersten Begriffes fällt zusammen mit dem eines zweiten“ gleichbedeutend sei mit dem Ausdrucke „alle unter den ersten Begriff fallenden Gegenstände fallen auch unter den zweiten und umgekehrt“. Wir sehen aus dem Ergebnisse unserer Ableitung, dass es gar nicht möglich ist, mit den Worten „der Umfang des Begriffes Φ(ξ)“ einen solchen Sinn zu verbinden, dass allgemein aus der Gleichheit des Umfanges von Begriffen geschlossen werden könne, dass jeder unter den einen von ihnen fallende Gegenstand auch unter den andern falle.Zu unserm Satze können wir noch auf einem andern Wege gelangen, nämlich so:
Formel f226101 in Original-Notation
Formel f226102 in Original-Notation
Formel f226103 in Original-Notation
Setzen wir hier zur Abkürzung »Ψ(ξ)« für
Formel f226104 in Original-Notation
und setzen wir für »a« »Mβ((Ψ(β)))«, so erhalten wir aus (ω)
Formel f226105 in Original-Notation
d. h. der Werth unserer Function zweiter Stufe für das Argument Ψ(ξ) fällt nicht unter den Begriff Ψ(ξ). Andrerseits haben wir aber auch aus (ω)
Formel f226106 in Original-Notation
d. h.: es giebt einen Begriff, für den als Argument unsere Function zweiter Stufe denselben Werth erhält wie für Ψ(ξ) und unter den dieser Werth fällt. Auch hier haben wir also zwei Begriffe der Art, dass sie, als Argumente der Function zweiter Stufe genommen, denselben Werth ergeben, der nun unter den zweiten dieser Begriffe fällt, nicht aber unter den ersten. Aus dem Satze (ω) können
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wir in ähnlicher Weise wie aus (ν) den Satz (χ) ableiten.Versuchen wir nun, die Function inline-Formel i_Nachwort2t-0572 in Original-Notationals Function zweiter Stufe unserer Sätze zu nehmen! Wir haben dann in
Formel f226201 in Original-Notation
einen Begriff, unter welchen sein eigner Umfang fällt. Es giebt dann aber nach (ν) einen Begriff, dessen Umfang mit dem eben genannten zusammenfällt, unter welchen dieser Umfang aber nicht fällt. Wir möchten gerne ein Beispiel hierzu haben. Wie ist ein solcher Begriff zu finden? Dies ist nicht möglich ohne genauere Bestimmung unserer Function inline-Formel i_Nachwort2t-0591 in Original-Notation oder des Begriffsumfanges; denn unser bisheriges Kriterium des Zusammenfallens von Begriffsumfängen lässt uns hier im Stiche. Wir haben andrerseits in
Formel f226202 in Original-Notation
einen Begriff, unter welchen sein eigner Umfang nicht fällt. Nach (ω) giebt es aber dann einen Begriff, dessen Umfang mit dem des eben genannten zusammenfällt, unter welchen dieser Umfang fällt. Alles dies natürlich unter der Voraussetzung, dass der Functionsname inline-Formel i_Nachwort2t-0612 in Original-Notation logisch berechtigt ist.In beiden Fällen sehen wir, dass der Begriffsumfang selbst den Ausnahmefall bewirkt, indem er nur unter den einen von zwei Begriffen fällt, die ihn als Umfang haben; und wir sehen, dass sich das Auftreten dieser Ausnahme in keiner Weise vermeiden lässt. Demnach liegt es nahe, das Kriterium der Umfangsgleichheit so zu fassen: der Umfang eines ersten Begriffes fällt zusammen mit dem eines zweiten, wenn jeder Gegenstand mit Ausnahme des Umfanges des ersten Begriffes, der unter den ersten Begriff fällt, auch unter den zweiten Begriff fällt, und wenn umgekehrt jeder Gegenstand mit Ausnahme des Umfanges des zweiten Begriffes, der unter den zweiten Begriff fällt, auch unter den ersten fällt.Selbstverständlich kann dies nicht als Definition etwa des Begriffsumfanges angesehen werden, sondern nur als Angabe der kennzeichnenden Beschaffenheit dieser Function zweiter Stufe.Indem wir das, was wir von den Begriffsumfängen gesagt haben, auf Werthverläufe im Allgemeinen übertragen, gelangen wir zu dem Grundgesetze
Formel f226203 in Original-Notation
das an die Stelle von (V) (§ 20, S. 36) zu treten hat. Aus diesem Gesetze folgt (Va). Dagegen muss (Vb) folgenden Sätzen weichen:
Formel f226204 in Original-Notation
oder
Formel f226205 in Original-Notation
Ueberzeugen wir uns nun, dass der früher zwischen den Sätzen (β) und (ε) auftretende Widerspruch jetzt
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vermieden wird. Wir verfahren wie bei der Ableitung von (β), indem wir statt (Vb) (V'c) benutzen. inline-Formel i_Nachwort2t-0666 in Original-Notation sei wieder Abkürzung für
Formel f226301 in Original-Notation
Wir haben nach (V'c)
Formel f226302 in Original-Notation
Die Benutzung der Abkürzung ergiebt
Formel f226303 in Original-Notation
was selbstverständlich ist wegen des Untergliedes inline-Formel i_Nachwort2t-0680 in Original-Notation und eben deswegen nie auf einen Widerspruch führen kann.Wir hatten (I, S. 17) festgesetzt, dass der Umfang eines Begriffes, unter den nur das Wahre fällt, das Wahre sein solle, und dass der Umfang eines Begriffes, unter den nur das Falsche fällt, das Falsche sein solle. Diese Bestimmungen erleiden durch die neue Fassung des Begriffsumfanges keine Aenderung.Welchen Einfluss hat nun diese neue Fassung auf die Werthe unserer Ersetzung von - unser - durch - unserer - [Fehlertyp: orth]# Function \ξ, wenn wir die Bestimmungen in I, § 11 festhalten ? Nehmen wir an, es sei Φ(ξ) ein leerer Begriff! Dann fiel nach der früheren Fassung des Begriffsumfanges inline-Formel i_Nachwort2t-0715 in Original-Notation mit inline-Formel i_Nachwort2t-0728 in Original-Notation zusammen, weil es keinen solchen Gegenstand Δ gab, dass inline-Formel i_Nachwort2t-0744 in Original-Notation mit inline-Formel i_Nachwort2t-0756 in Original-Notation zusammenfiel. Nach der neuen Fassung des Begriffsumfanges giebt es einen solchen Gegenstand, nämlich inline-Formel i_Nachwort2t-0770 in Original-Notation selbst. Das Ergebnis ist aber wieder dasselbe, nämlich dass inline-Formel i_Nachwort2t-0782 in Original-Notation mit inline-Formel i_Nachwort2t-0795 in Original-Notation zusammenfällt. Dasselbe wird sich ergeben, wenn inline-Formel i_Nachwort2t-0807 in Original-Notation als einziger Gegenstand unter den Begriff Φ(ξ) fällt. Nehmen wir an, unter den Begriff Φ(ξ) falle als einziger Gegenstand Δ, so fällt inline-Formel i_Nachwort2t-0839 in Original-Notation mit Δ zusammen. Dasselbe geschieht auch noch, wenn ausser Δ nur noch inline-Formel i_Nachwort2t-0860 in Original-Notation unter den Begriff Φ(ξ) fällt; und hier findet ein Unterschied von dem Frühern statt; denn in diesem Falle wäre früher inline-Formel i_Nachwort2t-0880 in Original-Notation nicht mit Δ, sondern mit inline-Formel i_Nachwort2t-0897 in Original-Notation zusammengefallen. In allen andern Fällen besteht kein Unterschied hinsichtlich der Werthe der Function \ξ bei der alten und der neuen Fassung des Begriffsumfanges, und unser Grundgesetz (VI) gilt jetzt wie früher.Wir müssen nun noch fragen, wie durch die neue Fassung des Werthverlaufs die Werthe unserer
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Function ξζ beeinflusst werden. In dem Falle, dass Γ ein Werthverlauf ist, ist nun nicht mehr in jedem Falle bestimmt, welchen Werth eine Function, deren Werthverlauf Γ ist, für das Argument Θ hat 1, nämlich dann nicht, wenn Θ mit Γ zusammenfällt. Es kann dann Functionen geben, die denselben Werthverlauf Γ haben, die aber für das Argument Γ verschiedene Werthe haben. Der Umfang des Begriffes
Formel f226401 in Original-Notation
kann nun nicht mehr mit dem Umfange eines Begriffes wie Δ=ξ zusammenfallen, weil unter diesen Δ als einziger Gegenstand, unter jenen aber alle Gegenstände fallen. Denn, wenn Γ ein Werthverlauf und Η ein Gegenstand ist, wird es immer möglich sein, eine Function Χ(ξ) so anzugeben, dass inline-Formel i_Nachwort2t-0992 in Original-Notation und Χ(Γ)=Η ist. Nach der Festsetzung in I, § 11 fällt demnach
Formel f226402 in Original-Notation
mit
Formel f226403 in Original-Notation
zusammen. Wenn demnach Γ ein Werthverlauf ist, so ist
Formel f226404 in Original-Notation
d. h. ΓΓ ist der Umfang eines allumfassenden Begriffes. Wenn Γ kein Werthverlauf ist, so ist ΓΓ der Umfang eines leeren Begriffes. Im ersten Falle ist —ΓΓ das Falsche:
Formel f226405 in Original-Notation
Dies ist wichtig für die Function inline-Formel i_Nachwort2t-1061 in Original-Notation. Man könnte zunächst befürchten, dass Begriffe von demselben Umfange nach unsern Festsetzungen dieselbe Anzahl erhalten müssten, obwohl unter den einen ein Gegenstand mehr, als unter den andern, nämlich der Begriffsumfang selbst fiele, sodass man schliesslich nur eine einzige endliche Anzahl erhielte. Indessen kommt bei inline-Formel i_Nachwort2t-1066 in Original-Notation nicht der Begriff Φ(ξ), sondern inline-Formel i_Nachwort2t-1087 in Original-Notation in Betracht, und unter diesen fällt der Begriffsumfang inline-Formel i_Nachwort2t-1103 in Original-Notation nicht, wenn er auch unter den Begriff Φ(ξ) fällt.Wiederholt man die Ableitung von (1) (I, § 55) mit (V'b) statt mit (Vb), so erhält man statt (1) den Satz (1'):
Formel f226406 in Original-Notation
aus dem statt (77) und (82) die Sätze (77') und (82') abzuleiten sind:
Formel f226407 in Original-Notation
,
Formel f226408 in Original-Notation
Wir ziehen noch einige Folgerungen.
Formel f226409 in Original-Notation
(IIIa):
Formel f226410 in Original-Notation
(Ia):
Formel f226411 in Original-Notation
(82'):
·−·−·−·−·−·−·−·
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Formel f226501 in Original-Notation
−−−− • −−−−
Formel f226502 in Original-Notation
(Ig):
Formel f226503 in Original-Notation
Dies folgt ganz so, wie oben (ι). Jedoch entsteht hier kein Widerspruch, wie wir gleich sehen werden. (γ') ist nur ein besonderer Fall von (α').
Formel f226504 in Original-Notation
Formel f226505 in Original-Notation
(γ')::
Formel f226506 in Original-Notation
(ε') ist ein besonderer Fall von (IIIe). Ein Widerspruch ist nicht aufgetreten.Es würde hier zu weit führen, den Folgen der Ersetzung von (V) durch (V') weiter nachzugehen. Es ist ja nicht zu verkennen, dass vielen Sätzen Unterglieder hinzugefügt werden müssen; aber es ist wohl nicht zu besorgen, dass hieraus wesentliche Hindernisse für die Beweisführung entstehen werden. Immerhin wird eine Durchprüfung aller bisher gefundenen Sätze nöthig sein.Als Urproblem der Arithmetik kann man die Frage ansehen: wie fassen wir logische Gegenstände, insbesondere die Zahlen? Wodurch sind wir berechtigt, die Zahlen als Gegenstände anzuerkennen? Wenn dies Problem auch noch nicht so weit gelöst ist, als ich bei der Abfassung dieses Bandes dachte, so zweifle ich doch nicht daran, dass der Weg zur Lösung gefunden ist. Jena, im Oktober 1902.

1 Auch die Systeme des Herrn K. Dedekind gehören hierher.

1 Man vergl. hierzu Bd. I, § 29.

1 Wegen des Gebrauchs der griechischen Buchstaben vergl. man Bd. I, § 9.

1 Bd. I, § 23, S. 40.

1 Vergl. I, S. 53.